ベルヌーイの定理とは？図解でわかりやすく解説

「連続の式ってなんだっけ？」

「ベルヌーイの定理とは？」

「具体的な計算方法や適用条件が知りたい」

このような疑問を解決します。

こんにちは。機械設計エンジニアのはくです。

2019年に機械系の大学院を卒業し、現在は機械設計士として働いています。

本記事では、流体力学を学ぶ第3ステップとして「ベルヌーイの定理」について解説します。

この記事を読むとできるようになること。

連続の式とは何かがわかる
ベルヌーイの定理とは何かがわかる
流体のエネルギー保存則を理解できる

ベルヌーイの定理は、機械設計の仕事でもよく使う式です。

2点間の流体の圧力差を求めるのに非常に便利な式ですので、ぜひ本記事で学習して使ってみてください。

前回の記事はこちら

【粘性・粘性力・粘性係数とは】水と油の違いでわかりやすく解説

流体の粘性について知りたいですか？本記事では「粘性とは何か」「流体に摩擦力が働くとはどういうことか」をわかりやすく解説します。「粘性ってなに？」「粘性係数の計算方法が知りたい」という方は、ぜひ記事の内容を参考にしてください。

連続の式とは
流体のエネルギー保存則
ベルヌーイの定理とは
まとめ：ベルヌーイの定理は超便利
1. 関連

連続の式とは

ベルヌーイの定理を勉強する前に、連続の式について理解しておきましょう。

連続の式とは、質量保存の法則のことです。

管内を流れる流体はどの断面でも質量流量が一定という質量保存の法則が成り立ちます。

流体が連続的に流れている場合に成立することから、連続の式と言われます。

流体の密度をρ(kg/m³)、流速をu(m/s)、断面積をA(m)とすると、連続の式は以下のとおり。

質量流量の単位は(kg/s)で、単位時間あたりに通過する流体の質量です。

ρuA =（一定）

ちなみに、水のような液体は、温度や圧力によって体積がほとんど変化しないため、体積保存の法則も成り立ちます。

一方、気体は圧力によって体積が大きく変化するため、体積保存の法則は成り立ちません。

もちろん、体積が変化しても質量は変わらないので、連続の式は成り立ちます。

流体のエネルギー保存則

ベルヌーイの定理は、流体のエネルギー保存則です。

流体では、以下4つのエネルギーの総和が保存されます。

①運動エネルギー + ②位置エネルギー + ③圧力エネルギー + ④熱エネルギー =（一定）

流体の運動エネルギー

質量m(kg)のボールが速度v(m/s)で飛んでいる場合の運動エネルギーは、mv²/2です。

これを流体に当てはめて考えます。

流体の密度をρ(kg/m³)とすると、単位体積あたりの質量はρ×1(kg)です。

したがって、単位体積あたりの流体の運動エネルギーは、以下のように表されます。

①流体の運動エネルギー = ρu²/ 2

流体の位置エネルギー

重力加速度をg(m/s²)とすると、高さh(m)、質量m(kg)の物体が持つ位置エネルギーはmghで表されます。

これを流体に当てはめると、単位体積あたりの流体が持つ位置エネルギーは以下のとおりです。

②流体の位置エネルギー = ρgh

流体の圧力エネルギー

流体には常に圧力がかかっており、その力の作用によって流体が動かされるエネルギーとなります。

圧力エネルギーが大きいほど流量が多く、小さいほど流量は少ないです。

具体例を挙げると、水道配管はレギュレーターを使って供給圧力を変化させて、水の流量を調整しています。

供給圧力を高くするとたくさん水が流れ、低くすると水の流量は小さくなります。

圧力p(Pa)の流体の圧力エネルギーは、そのままpです。

③流体の圧力エネルギー = p

流体の熱エネルギー

流体は流れることによって温度が変化する場合があり、流体の熱エネルギーも変化します。

ただし、流速が小さい流れでは、熱に変換されるエネルギーは小さく無視できます。

流速が大きくなると、摩擦による熱と衝撃波による熱が発生して、熱エネルギーの影響が大きくなります。

摩擦は流体が持つ粘性によって発生しますが、ベルヌーイの定理は粘性がない流体に適用されるので、熱エネルギーは変化しないと仮定して考えることができます。